浙大哈佛剑桥学者联手破解数学界几十年的谜题 成果登上数学顶刊

当两个看似 ” 无关 ” 的数学领域发生碰撞,会发生什么?浙江大学研究员、中科大数学系 2003 级校友叶和溪,与来自剑桥大学、哈佛大学的两位学者一起,将动力系统应用到数论中,解开了困扰数学家长达数十年的难题

研究成果发表在数学界顶级期刊《数学年刊》(Annals of Mathematics)上,该学术期刊为双月刊,近两年每年仅发表三十多篇学术论文。

这也是浙大 40 多年来首次在该期刊上发表成果。叶和溪结合动力系统方法,证明了数论中一个非常重要的问题。

动力系统,主要研究空间中所有点随时间变化的情况。这门学科最著名的便是 ” 蝴蝶效应 ” 中的洛伦茨吸引子。

然而数论,研究的却是整数的性质。

这两个看起来风马牛不相及的领域,被数学家们巧妙地被结合到一起。

它们是怎么联系起来的,首先还得从两个方程说起。

两个方程

1、y2=x3+ax+b2、f ( z ) =z2+c第一个方程表示椭圆曲线,当 a 和 b 不断变化时,椭圆曲线形状各不相同,就像是从曲线中挤出一个 ” 气泡 “。

椭圆曲线是数论中的重要工具,数学家证明费马大定理就用到了它。在椭圆曲线上,你甚至可以对两个点做加法

假设有两个点 P、Q,那么 PQ 连线与曲线的第三个交点 R 对 x 轴的镜像点,就是 P+Q。R 的镜像点记为 -R,即 -R=P+Q。

因为椭圆曲线是上下对称的,所以 P+Q 也一定在椭圆曲线上。

那么 P 点和它自己相加(P+P)怎么计算?

想象一下 Q 点越来越靠近 P 点,最后 PQ 两点的连线就变成 P 点处的切线,所以 P+P 就是这个切线与椭圆曲线交点的镜像点。

如果 P 点反复加上自己,经过有限次加法后(P+P+ …… +P)又回到 P 点,那么 P 就叫做 ” 挠点 “(torsion point)。

再看第二个方程数学公式 : f ( z ) =z^2+c,它不是二次曲线,而是与另一门数学分支动力系统有关。

z 在这里不是实数,而是实数 + 虚数。如果我们画出一个平面坐标,横坐标代表它的实数部分,纵坐标代表它的虚数部分,z 就是一个点。

我们把 z、f ( z ) 两个点画在这个平面上,再把 f ( z ) 带入方程得到 f ( f ( z ) ) ,然后再得到 f ( f ( f ( z ) ) ) ……

如此 ” 无限套娃 ” 操作,把所有的点都画出来,可以得到以下图形。

有些人可能已经发现,这不就是分形吗,怎么和椭圆曲线联系起来了?

上面的图形范围有限,说明某些 z 值在经过无限套娃后,还是有限的数值。

假设 c=-1,z 的初始值为 2,那么得到的数字组合是 2、3、8、63 ……,这组数会一直增大;如果 z 的初始值是 0,那么接来下的数分别是 -1、0、-1、0 ……,会一直循环下去。

对于第二种情况,无限次迭代后的每个点都在有限范围内,这些有限范围内的点组成的集合,就是” 朱利亚集合 “(Julia set)。

在动力系统中,像 -1、0、-1、0 ……这样,不仅范围有限,还能够回到起点的一组点,称为” 有限轨道点 “(finite orbit point)。

这样,椭圆曲线就和动力系统联系起来了,有限轨道点便是椭圆曲线上挠点的模拟。

叶和溪的导师 DeMarco 说:” 椭圆曲线上的挠点与某个动力系统的有限轨道点相同,这就是我们在论文中反复使用的内容。”

证明数学猜想

但这三位数学家研究的问题——Manin-Mumford 猜想——比上面复杂得多。

Manin-Mumford 猜想是比椭圆曲线更复杂的曲线,例如 y^2 = x^6 + x^4 + x^2 ?1,每个不同参数的曲线都与一个几何体关联。

Manin-Mumford 猜想于 1983 年被 Raynaud 证明,即亏格(genus)大于 1 的任意光滑代数曲线上至多只有有限个挠点。

对于封闭的有向曲面而言,亏格就是曲面的 ” 洞 ” 数量。

椭圆曲线对应的几何体是亏格为 1 的 ” 甜甜圈 “。

叶和溪等人将 Manin-Mumford 猜想又推进了一步,他与 Holly Krieger、Laura DeMarco 一起,结合动力系统证明了,在亏格为 2 的情况下,光滑代数曲线挠点数量不仅有限,而且具有一致上界。

与椭圆曲线不同的是,Manin-Mumford 猜想中的复杂曲线不具备允许做加法的结构。

但是它们对应的几何体却都可以做加法,而且像椭圆曲线一样具有挠点。

他们给出了待求的特定曲线簇的解的形状:像是两个甜甜圈的表面(亏格为 2)。

其中,每个 ” 甜甜圈 ” 代表一个椭圆曲线。

而要证明挠点数量的上限,就需要计算出椭圆曲线上挠点之间的相交点数量

然而这两条椭圆曲线上的挠点不可能直接比较,因为它们不一定重叠。

几位学者想出了一种方法:比较它们是否在 ” 甜甜圈 ” 上各自处于相同的相对位置。

他们将两条椭圆曲线的解各自绘制在一张平面图上,以此来比较挠点的位置。

接下来,只需要计算这些点重叠的次数,就能给 Manin-Mumford 猜想一个明确的上界了。

这里,便是动力系统需要发挥作用的地方。

他们利用动力系统,证明了这些点只能重合特定的次数,而且这一次数确实存在——即 Manin-Mumford 猜想的上界确实存在。

对于他们的证明,来自加拿大约克大学的助理教授 Patrick Ingram 表示:

他们成功证明了一个特殊问题。此前,这个问题一直被归类于数论中,没人认为它与动力系统有关。这确实引起了极大的轰动。

与导师旧友一同解决重要猜想

事实上,猜想证明背后的三位学者,彼此也是导师与旧友的关系。

这其中,叶和溪与论文作者 Holly Krieger,都曾经是 Laura DeMarco 的学生。

2013 年,他们在后者的指导下,获得了伊利诺伊大学芝加哥分校的博士学位。

在这之后,Laura DeMarco 如今已是哈佛大学教授,而 Holly Krieger 也已经成为一名剑桥大学的数学讲师。

叶和溪则选择了回国,成为浙江大学的数学系研究员。

但这期间,他们并未停止共同研究的步伐。

2017 年,叶和溪就曾与 Laura DeMarco、Holly Krieger 一起,研究了动力系统中有界高度的问题,成果于 2019 年发表。

而在 2019 年,继证明 Manin-Mumford 一致猜想之后,他们也对动力系统中的另一个问题进行了深入探讨,并采用了类似的研究方法。

目前,这篇文章以预印本的形式发表。

2020 年 4 月 15 日,他们证明的 Manin-Mumford 一致猜想,最终成功刊登在《数学年刊》上。

中科大 03 级数学人才 ” 井喷 “

在这次研究中做出不少贡献、来自浙江大学的研究员叶和溪,高中曾就读于福建省建瓯第一中学。

2003 年,叶和溪进入中国科学技术大学数学系学习。

本科毕业后,叶和溪选择出国深造,研究方向就是数学中的动力系统。

2013 年,他在导师 Laura DeMarco 的指导下,完成了博士学位,毕业于伊利诺伊大学芝加哥分校。

在这之后,他曾经先后在多伦多大学、英属哥伦比亚大学从事博士后研究工作。

完成学术研究后,叶和溪于 2016 年回国任教。

与叶和溪一同入学的中科大数学系校友,也是人才辈出。

其中,至少 5 位学者的研究,再世界 ” 四大数学顶刊 ” 上发表过论文。

叶和溪同班同学郏浩、刘博、申述、张享文,也都已经在《数学发明》上各发表一篇论文。

还有许多与叶和溪、刘博一样学成归来的学子,如鲁汪涛、马杰、熊涛、张振、仲杏惠等中科大校友,毅然决然地放弃了国外的条件,回到国内继续从事数学研究。

图源:公众号 @中国科大本科招生

对于 2003 级学子在数学上取得的成就,中国科学院院士、南开大学陈省身数学研究所张伟平由衷地表示自豪:

事实证明,科大的学生不管考第几,到哪里都是一块好料。在同一个班就有这么多杰出的人才涌现,殊为罕见。